Лучевые траектории нижнегибридных волн

§1.1 Лучевые траектории нижнегибридных волн

Эффективным методом исследования распространения нижнегибридных волн в неоднородной плазме является метод лучевых траекторхтй, основанный на квазиклассическом приближении. Это приближение позволяет находить ассимптотические решения уравнений Максвелла в слабонеоднородной среде. Условие слабой неоднородности подразумевает, что длина волны в плазме должна быть много меньше характерных размеров плазменного образования. Это условие всегда достаточно хорошо удовлетворяется в нижнегибридном диапазоне частот [37]. Формально квази-классическое приближение является естественным обобщением поля по плоским волнам с медленно меняющейся амплитудой и быстро меняющейся фазой:

$$\vec{E}(r,t)= \vec{E}_0(\vec{r},t)exp[iS(\vec{r},t)],\quad k=\vec{\nabla} S,\quad \omega=-\frac{\partial S}{\partial t}.$$

Низший порядок этого приближения дает уравнения геометрико-оптических лучей:

$$\begin{equation} \frac{d \vec{r}}{d t} = - \frac{\partial H / \partial \vec{k}}{\partial H / \partial \omega}, \quad \frac{d \vec{k}}{d t} = \frac{\partial H / \partial \vec{r}}{\partial H / \partial \omega} \tag{1.1} \end{equation}$$

где $Н$ - левая часть дисперсионного уравнения. Уравнения (1.1) определяют форму луча и изменение вдоль него волнового вектора $\vec{k}$. Представляя поле на выходе нижнегибридной антенны - "грилла”- в виде пучка из N лучей с некоторой координатой $\vec{r}_i$ и волновым вектором $\vec{k}_i (i=1,N)$ и решая для каждого из них уравнения (1.1) можно для любого момента времени t восстановить фронт волны. Одновременно, уравнения (1.1) определяют изменение вдоль траектории продольной составляющей $k_{\parallel}$ волнового вектора $\vec{k}$, которая играет ключевую роль в затухании волны по механизму Ландау. Однако сам процесс затухания этими уравнения не описывается. Его учет может быть произведен в следующем порядке квазиклассического приближения, дающем уравнение для переноса мощности вдоль траектории. Оно может быть записано в виде: $dP/dt=2 \gamma t$, где $\gamma$ - декремент затухания волны, и решаться одновременно с уравнениями (1.1). В дальнейшем мы будем в основном интересоваться системой уравнений (1.1), поскольку для доли поглощенной мощности волны в зависимости от $k_{\parallel}$ хорошие аналитические оценки [74].

Для того, чтобы записать уравнения (1.1) для проекций входящих в них векторов необходимо задать систему координат. Мы выберем систему $(\rho, \theta, \varphi)$, связанную с магнитными поверхностями. При этом магнитные поверхности задаются уравнением $\rho = const$, $\theta$ - здесь полоидальный, а $\varphi$ - тороидальный угол. Такая система координат была введена в [75] и позволяет удобно задавать форму магнитных поверхностей через широко используемые характеристики- шафрановский сдвиг $\Delta$ , эллиптичность $\lambda$. и треугольность $\gamma$. Ее связь с обычней цилиндрической системой координат $(r, \varphi, z)$ дается выражениями: $$\begin{equation} \begin{aligned} &r = R_0 - \Delta(\rho) + \rho cos(\theta) - \gamma(\rho) sin^2(\theta) \\ &\varphi = \varphi \\ &z = \lambda(\rho) \rho sin(\theta) \end{aligned} \tag{1.2} \end{equation}$$

где $R_0$ - радиус магнитной оси. Функции $\Delta(\rho),\gamma(\rho) и \lambda(\rho)$ определяют широкий класс магнитных поверхностей и с достаточной точностью позволяют отыскать практически любую равновесную конфигурацию в токамаке.

Теперь небхедимо выразить функцию Н в (1.1) через координаты $\rho, \theta, \varphi$ и канонически сопряженные им импульсы (мы используем этот термин, учитывая гамильтонсвскую форму лучевых уравнений, которая является следствием известной аналогии между геометрической оптикой и механикой материальных частиц).

Дисперсионное уравнение в холодной плазме имеет вид [43]:

$$\begin{equation} H \equiv \varepsilon {N_\perp}^4 - [(\varepsilon + \eta)(\varepsilon - {N_\parallel}^2) - g^2] {N_\perp}^2 + \eta [(\varepsilon - {N_\parallel}^2)^2 - g^2] = 0 \tag{1.3} \end{equation}$$

Здесь $N_\parallel=с{k_\parallel}/\omega$, $N_\perp=с{k_\perp}/\omega$, где $k_\perp$ - составляющая волнового вектора, перпендикулярная магнитному полю, $\varepsilon = K_{x x} = K_{y y}$, $g = i K_{xy} = i K_{yx}$, $\eta = K_{zz}$ - компоненты тензора диэлектрической проницаемости $\hat{К}$. В нижнегибридном диапазоне частот эти компоненты можно положить равными: $\varepsilon = 1 - \omega_{pi}^2 / \omega^2 + \omega_{pe}^2 / \omega_{Be}^2$, $g = \omega_{pe}^2/\omega\omega_{Be}$, $\eta = 1 - \omega_{pe}^2/\omega^2$, где $\omega_{pe}, \omega_{pi}$- электронная и ионная плазменные частоты, $\omega_{Be}$ - электронная циклотронная частота. Таким образом, неоднородность плазмы входит в компоненты тензора через плотность плазмы n и магнитное поле $\vec{B}$. Мы будем считать плотность постоянной вдоль магнитных поверхностей, то есть $n = n(\rho)$. Что касается магнитного поля и физических компонент показателя преломления $N_\parallel$ и $N_\perp$ то для того, чтобы выразить их в выбранной системе координат нужно ввести метрический тензор $\hat{G}$. Используя выражения (1.3) имеем для его элементов:

$$\begin{equation} \begin{aligned} &g_{11} = (-\Delta' + \cos{\theta} - \gamma' \sin^2 \theta)^2 + (\lambda' \rho + \lambda)^2 \sin^2 \theta \\ &g_{22} = (\rho + 2 \gamma \cos{\theta})^2 \sin^2 \theta + \lambda^2 \rho^2 \cos^2 \theta \\ &g_{33} = (R_0 - \Delta + \rho \cos \theta - \gamma \sin^2 \theta)^2 \\ &g_{12} = \lambda \rho (\lambda' \rho + \lambda) \sin \theta \cos \theta - (\Delta' + \cos \theta - \gamma' \sin^2 \theta)(\rho + 2 \gamma \cos \theta) \sin \theta \end{aligned} \tag{1.4} \end{equation}$$ $g_{i3}=0$ и $g_{3i}=0$ при $i\neq3$. Записывая уравнение $div \vec{B}=0$ в криволинейной системе координат получим для контрвариантных компонент магнитного поля $\vec{В}$: $$\begin{equation} В^1 = 0,\quad В^2 = \Phi'(\rho)/2 \pi \sqrt g, \quad В^3 = \Psi'(\rho)/2 \pi \sqrt g \tag{1.5} \end{equation}$$ где $g = det G$, $\Phi$ и $\Psi$ - соответственно полоидальный и тороидальный магнитный потоки. Для того, чтобы установить выражения для импульсов, канонически сопряженных выбранным координатам, можно ввести производящую функцию от новых координат и старых импульсов $S(q_i, p_i) = \sum_{i=1}^{3} f_i(q_i)p_i$, где $$q_1=p, \quad q_2=\theta, \quad q_3 = \varphi\, \quad p_1 = k_x, \quad p_2 = k_y, \quad p_3 = k_z$$ $f_i$ - i-oe соотношение (1.2). Тогда для новых импульсов $$p_i = \partial S / \partial q_i = \sum_{i=1}^{3} p_i \partial f_i/ \partial q_i$$ , что является определением ковариантных координат вектора $\vec{k}$ в выбранной системе координат $k_1, k_2, k_3$. Теперь мы можем записать

$k_{\parallel} = \vec{k} \vec{B}/ |\vec{B}| = (k_1 B^1 + k_2 B^2 + k_3 B^3)/|B|$, что учитывая (1.5) дает

$$k_{\parallel} = k_1 \frac{\sin \alpha}{\sqrt g_{22}} + k_2 \cos \alpha / \sqrt g_{33} \tag{1.6}$$

где $\alpha$ - угол между $B_\varphi$ и полным магнитным полем В. Тороидальная компонента магнитного поля $B_\varphi$ определяется очевидным выражением $B_\varphi = B_0 R_0/\sqrt g_{33}$, а полоидальная равна $B^2 = B_\theta \sqrt g_{22} = \sqrt{g_{22}/g} \Phi'(\rho)$.

Наконец, к может быть найдено о помощью тождества $k^2 = \vec{k} \vec{k} = k^2_\parallel + k^2_\perp$. Записывая векторное произведение в римановом пространстве, задаваемом тензором $g_{ik}$ получим

$$k^2_{\perp} = \sum_{i,k} g^{ik} k_1 k_2 - k^2_\parallel , \tag{1.7}$$

где $g^{ik}$ - контрвариантный метрический тензор. Его элементы определяются выражением: $g^{ik} = \partial \ln g / \partial g_{ik}$.

Разделив уравнения (1.1) на групповую скорость $v_g = \partial \omega / \partial \vec{k}$ и переходя таким образом от физически неинтересного в данной задаче времени к длине траектории s получим окончательно:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d\rho}{ds} = - \frac{\partial H / \partial k_1} {|\partial H / \partial \vec{k}|} \quad \frac{dk_1}{ds} = \frac{\partial H / \partial \rho}{|\partial H / \partial \vec{k}|} \\ \frac{d\theta}{ds} = - \frac{\partial H / \partial k_2} {|\partial H / \partial \vec{k}|} \quad \frac{dk_2}{ds} = \frac{\partial H / \partial \theta}{|\partial H / \partial \vec{k}|} \\ \frac{d\varphi}{ds} = - \frac{\partial H / \partial k_3} {|\partial H / \partial \vec{k}|} \quad \frac{dk_3}{ds} = \frac{\partial H / \partial \varphi}{|\partial H / \partial \vec{k}|} \\ \end{aligned} \tag{1.8} \end{equation}$$

где $H$ должно быть выражено через канонические импульсы с помощью уравнений (1.6), (1.7). Сразу можно отметить, что в силу тороидальной симметрии системы Н не зависит от тороидального угла $\varphi$, соответственно последнее из уравнений (1.8) дает $k_3=const$. Таким образом $k_3$ сохраняется вдоль траектории, а движение по $\varphi$ определяется при известных $\rho(s), \theta(s), k_1(s), k_2(s)$ прямым интегрированием. Поэтому естественно рассматривать проекцию трехмерной траектории на малое сечение токамака плоскость $\rho, \theta$.

Самым прямым и практически всегда используемым способом нахождения лучевой траектории является численное интегрирование соответствующей системы уравнений. Нами также была разработана программа, осуществляющая численное решение системы (1.8). Она была объединена с равновесным кодом [75], что позволило рассчитывать лучевые траектории в реалистичной магнитной конфигурации токамака. Примеры подобных рассчетов приведены на рис. 1,2. Здесь показаны лучевые траектории для медленной и быстрой волн в проектируемой установке ИТЭР, которая характеризуется сильно вытянутой формой магнитных поверхностей. Расчеты проводились при следующих параметрах: $R_0=5.2м$, малый радиус $a=1.8м$, полный тороидальный ток $I=18мA$, центральная плотность $n_0=10^{14}cм^{-3}$, центральная температура $T_{e0}=30 кэВ$, $И_0=5.3Тл$. Частота волны выбиралась таким образом, чтобы она лежала вблизи нижних границ диапазонов, где мало поглощение ВЧ мощности на $\alpha$-частицах - f < 5ГГц - для медленной волны и f - 1 ГГц для быстрой волны [76].

Рисунки позволяют сделать некоторые практические выводы. Так, плохое проникновение медленной волны к центру плазмы делает ее неэффективной для генерация тока в ИТЭРе; быстрая волна проникает лучше, однако рост $N_\parallel$ приводит к её преждевременному затуханию; сильная зависимость поведения траекторий от полоидального угла в точке запуска принципиально ограничивает возможность использования узких спектров, с помощью которых предполагалась транспортировка ВЧ мощности внутрь плазмы [77]. Зти выводы в целом подтверждаются и детализируются при расчетах генерации тока с помощью более сложного кода [68], который включает в себя код расчета лучевых траекторий в качестве одной из составных частей.

Мы однако не будем здесь останавливаться на этих вопросах. Вместо этого отметим, что при очевидных достоинствах, численный подход имеет и существенные недостатки. Главным из них является фактическая эмпиричность процедуры. Действительно, форма траекторий выглядит весьма сложной и запутанной (рис. 1,2) и численный расчет, выдавая лишь конечный результат, не позволяет понять причины того или иного их поведения. Кроме того, численнное решение уравнений не позволяет выявить в явном виде индивидуальную роль многочисленных факторов, влияющих на поведение волны. Все это делает целесообразным поиск аналитического подхода к задаче.